Le problème du centurion : utiliser un tableur

Dans ce cours de mathématiques en ligne niveau collège, Gérard se penche sur le problème du centurion pour vous montrer l’utilisation du tableur.

Le centurion ordonne à ses légionnaires (dont le nombre est compris entre 200 et 500):

  « Rangez-vous par 4 ! ». Les soldats s’exécutent, mais le dernier rang est incomplet : il ne compte que 3 soldats.

« Mettez-vous par 5 ! », hurle alors le centurion ; mais au dernier rang, incomplet, on compte de nouveau 3 soldats.

« Eh bien, rangez-vous par 7 ! ». Encore une fois, le dernier rang reste incomplet : on y compte toujours 3 soldats.

Le problème est d’aider le centurion à ranger ses légionnaires pour que tous les rangs soient complets.

d’après Mathématiques sans frontière 2011

Nous allons vous montrer comment résoudre ce problème de mathématiques en ligne en utilisant un tableur.
Cet article peut concerner tous les élèves de collège, il suffit de savoir entrer des formules dans un tableur.

Nous allons faire un tableau pour connaitre les restes des divisons par 4, 5 et 7 des nombres de 200 à 500.

Dans la colonne A on note le nombre de légionnaires de 200 à 500 pour cela :

Dans la cellule A2 on entre le nombre 200.

Dans la cellule A3 on entre la formule =A2+1, que l’on recopie par étirement vers le bas pour avoir tous les nombres de 200 à 500.

Dans la cellule B2 on entre la formule =quotient(A2;4) (calcul du quotient de la division)

Dans la cellule E2 on entre la formule =A2-4*B2 (calcul du reste de la division)

On entre de la même manière les formules dans les cellules B2 ; C2 ; F2 et G2.

On recopie les formules par étirement vers le bas pour les colonnes B à G.

Voici le tableau que l’on obtient :

On constate que le reste de la division par 4 ; 5 et 7 est égal à 3 pour 283 et 423 légionnaires.

On réalise le tableau suivant pour connaitre les diviseurs de 283 et de 423 :
(comme 283 et 423 ne sont pas pairs et ne se terminent pas par 5 il n’est pas nécessaire de faire les divisions par des multiples de 2 ou de 5)

On entre la formule =A2/B1 dans la cellule B2 puis on recopie sur la ligne complète en étirant vers la droite.

On entre la formule =A3/B1 dans la cellule B3 puis on recopie sur la ligne complète en étirant vers la droite.

L’étude du cas « 283 légionnaires » nous montre que 283 n’a pas de diviseurs dans le tableau car c’est un nombre premier.

L’étude du cas « 423 légionnaires » laisse apparaître 4 rangements acceptables (voir nombres en rouge).

Réponse en ligne au problème de maths posé :

141 rangées de 3 légionnaires ou 3 rangées de 141 légionnaires ou 47 rangées de 9 légionnaires ou 9 rangées de 47 légionnaires.

A toi de modifier les tableaux pour répondre au problème posé si le nombre de légionnaires est inférieur à 200.