Dans ce cours de maths en ligne niveau lycée, ton prof de soutien scolaire propose un corrigé d’exercice sur les intervalles de confiance.

Intervalle de confiance : de l’échantillon vers la population.

Niveau; Lycée, à partir de la classe de seconde

Rappel de cours:

Soit une population dans laquelle on étudie un caractère donné avec une probabilité de réalisation inconnue.
Pour trouver une estimation de , on extrait un échantillon de taille , puis on détermine sur cet échantillon la fréquence de réalisation du caractère étudié.
On appelle intervalle de confiance pour la proportion au niveau de confiance 0,95, l’intervalle :.
Remarques : Un niveau de confiance 0,95 signifie que dans 95 cas sur 100, on affirme à juste titre que appartient à l’intervalle de confiance.
Il n’est pas vrai d’affirmer que est égal au centre de l’intervalle de confiance.
Il n’est pas possible d’évaluer la position de dans l’intervalle de confiance.
étant inconnu, il n’est pas possible de vérifier si les conditions énoncées sur et sont vérifiées.
Cependant, il faudra les vérifier sur la fréquence observée .

Exemples:

1) A propos d’élections.

A quelques jours d’une élection, un candidat PE fait faire un sondage.
Sur les 956 personnes interrogées, 506 se disent prêtent à voter pour lui aux prochaines élections.
a) Estimer par intervalle de confiance au niveau de 95%, la proportion de personnes prêtes à voter pour PE aux prochaines élections.
b) Ce sondage permet-il de conclure à 95% sur l’issue du vote ?

Correction:
a) Calculons
Vérifions les conditions d’utilisation. et
Déterminons l’intervalle de confiance au niveau de 95%.
.
b) On a donc : .
Il est donc possible que le candidat PE ne soit pas élu.
Donc à 95%, ce sondage ne permet pas de conclure sur l’issue du vote.

2) Copies de Math.

Le prélèvement d’un échantillon de 500 copies corrigées de Mathématiques du baccalauréat, montre que 203 d’entre elles obtiennent une note strictment inférieure à 10.
a) Déterminons l’intervalle de confiance au niveau de à .
Calculons :
Vérifions les conditions d’utilisation.
et
.
b) Que peut-on en conclure?
On peut donc considérer qu’au niveau 95%, entre 36% et 45% des copies ont eu une note inférieure à 10.

Corrigé d’exercice de baccalauréat

Le maire d’une commune de plus de 50 000 habitants souhaite connaitre l’avis de ses administrés concernant le projet de construction d’un nouveau complexe sportif.
Pour cela, il décide d’organiser un sondage en choisissant au hasard 300 habitants de la commune. Sur les 300 habitants interrogés, 192 se déclarent favorables au projet.
a) Quelle est la proportion de personnes favorables au projet dans l’échantillon choisi ?
b) Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion des administrés favorables au projet de construction.
c) Que pouvez vous en conclure?
d) Le maire trouve que l’amplitude de l’intervalle de confiance trouvé précédemment est trop large.
Il décide donc d’organiser un nouveau sondage.
Combien de personnes doit-il alors interroger pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à 0,1 ?

Voir la correction.

Article connexe: Intervalle de fluctuation.