Nombres complexes : de la méthode

Votre E-Prof de maths vous propose quelques éléments de méthode pour faciliter vos révisions de baccalauréat : les nombres complexes en terminale S.

La réussite au bac passe par une révision des bases, en particulier en mathématiques.  Votre prof de soutien scolaire en ligne vous propose une leçon sur les complexes à destination des élèves de terminale S.

La forme conjuguée avec les nombres complexes.

La forme conjuguée s’inspire du calcul suivant:(a+b)(a-b)=a²-b².Dans le cadre des nombres complexes, nous allons avoir la chose suivante :

(Re(z)+i Im(z))(Re(z)-i Im(z)=Re²(z)-(i Im(z))²=Re²(z)-i²Im²(z)=Re²(z)+Im²(z).

Ce qui nous permettra d’avoir une expression : Re²(z)+Im²(z), où aucun i n’est présent.

Voyons un exemple d’après un exercice que nous avons étudié lors d’une séance de soutien scolaire mathématiques en ligne.

Un exemple de forme conjuguée

Je multiplie au numérateur et au dénominateur par la même quantité : (1-2i). J’ai choisi cette quantité en particulier car c’est la quantité conjuguée de (1+2i); elle permet d’aboutir à des calculs comme ceux exprimés ci-dessus. En effet : (1+2i)(1-2i)=1²+2²=5. On va pouvoir exprimer la fraction sous la forme d’une fraction dont le dénominateur sera 5.

Vers la géométrie avec les complexes.

La géométrie avec les nombres complexes peut tout à fait être issue du théorème suivant : “Un point situé à égales distances des deux extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce segment.”

Dans la figure ci-dessus, Les points D,C et E sont tous les trois situés à égales distances des extrémités A et B du segment [AB], ils appartiennent tous à la médiatrice de [AB] .

Un exemple de géométrie avec les complexes :

Considérons :

a = -1 + 2i ; b = -2 – i et f, l’application qui à un point M d’affixe z associe z’ tel que  :

On cherche à déterminer l’ensemble des points M tels que |z’|=1

Ainsi, l’ensemble des points M vérifie le fait que la distance AM est égale à la distance BM, c’est donc la médiatrice du segment [AB] d’après ce que nous avons dit juste au-dessus

Truc de soutien scolaire

Pratique, n’est-ce pas ? Le truc de votre E-prof de soutien scolaire : dans le cadre de vos révisions bac il serait peut-être utile de reprendre les définitions de base de la géométrie et du calcul que vous avez fait au collège, elles vous seront utiles. Un formule de 3ème, une propriété de 5ème, c’est quand même simple, les nombres complexes !