Dans le cadre de la révision en ligne du bac mathématiques, zoom sur un grand classique de la terminale : l’étude de fonctions
Observez le tableau (incomplet) de variations d’une fonction f inconnue ci-dessous :
Commençons par un vrai ou faux sur les fonctions
Les informations du tableau nous permettent-elles d’affirmer que :
A : f est définie sur tout l’intervalle [ -10 ; 5 ]
B : f’ est strictement positive sur [ 0 ; 2 ]
C : f est strictement croissante sur [ -3 ; 2 ]
D : f(1) > f(0)
E : f(1,5) > f(2,5)
… et voici la correction
A – FAUX : Le tableau nous permet d’être sûr que f est définie sur ] -10 ; 5 [ car la fonction est forcément définie où sa dérivée l’est (l’inverse n’est pas vrai !).
Notez qu’ici les crochets sont ouverts pour l’intervalle. En effet, ce tableau incomplet ne nous permet pas de dire si f sera définie en -10 et 5. La fonction pourrait très bien présenter, par exemple, des asymptotes pour ces 2 valeurs auquel cas une double barre serait représentée sous ces dernières.
B – VRAI : Le tableau montre que f’ est strictement positive sur [ -2 ; 2 ], et comme [ 0 ; 2 ] appartient à [ -2 ; 2 ], f’ est positive sur [ 0 ; 2 ].
C – FAUX :
Rappel : une fonction est croissante sur l’intervalle où sa dérivée est positive, et décroissante sur l’intervalle où sa dérivée est négative.
Le tableau nous montre que f’ est négative sur [ -10 ; -2 ] puis positive sur [ -2 ; 2], donc f sera décroissante sur [ -10 ; -2 ] puis croissante sur [ -2 ; 2 ]. Donc concernant l’intervalle [ -3 ; 2 ] : f sera décroissante pour x de -3 à -2, puis croissante pour x de -2 à 2.
D – VRAI : Comme dit plus haut, f sera strictement croissante et définie sur [ -2 ; 2 ], de plus on a 1 > 0, donc selon le théorème des valeurs intermédiaires (ou TVI), f(1) > f(0).
E – FAUX : En effet, nous pouvons déduire du tableau que f sera décroissante sur [ 2 ; 5 ] et croissante sur [ -2 ; 2 ]. Mais rien ne permet de prédire que f(1,5) soit supérieur à f(2,5). On ne connaît pas les taux d’accroissement de la fonction sur ces intervalles.
… et voilà ! Rappelez-vous que l’étude de fonctions est un grand classique de l’épreuve du bac mathématiques, vous devez donc développer certains réflexes concernant ces notions essentielles. En espérant que cela vous aura aidé à éliminer certaines zones d’ombre.
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