Associer football et révisions bac, c’est que te propose ton entraîneur du jour, ton E-prof en ligne de soutien scolaire mathématiques dans cet article spécial lycée (première et terminale).
Niveau : 1ere – Terminales toutes sections.
Probabilités et loi binomiale
Aujourd’hui, dans ce cours de soutien scolaire en ligne je t’emmène dans le monde des probabilités sur fond de foot et en profite pour t’aider dans tes révisions pour le Bac. A vos dés !
Lors d’un match de football, la réalisation d’un pénalty est un moment très intense, pour les joueurs comme pour le public. Il en est de même, et même davantage, lors des séances de tirs au but qui surviennent parfois en cas d’égalité à la fin de la rencontre.
C’est pourquoi, un entraîneur d’une équipe de football a étudié les statistiques de tir au but (pénalty) de ses joueurs.
Il a alors remarqué que sur une série de cinq tirs au but, un joueur pris au hasard dans son équipe marque:
5 buts avec une probabilité de 0,2.
4 buts avec une probabilité de 0,5.
3 buts avec une probabilité de 0,3
Chaque joueur, à l’entraînement, tire deux séries de cinq pénaltys. On admet que les résultats d’un joueur à chacune des séries sont indépendants. On choisit un joueur au hasard.
1/ Dressons l’arbre pondéré qui représente la séance de tirs aux deux séries de pénalties.
On appelle 
la variable aléatoire égale au nombre de tirs aux buts réussis par un joueur au cours d’un entrainement.
Les valeurs possibles pour X sont : 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10
Loi de Probabilité de :
|
|
6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
 |
0,09 | 0,30 | 0,37 | 0,2 |
0,04 |
Remarque : On vérifie bien que la somme des probabilités est égale à 1
Calculons l’espérance de :
soit 
.
Donc en moyenne le joueur réussit environ 8 tirs au but sur les dix tentés.
L’entraîneur considère que le joueur a réussi son entraînement s’il a marqué au moins huit buts.
Montrons que la probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d’un entraînement est égale à 0,61.
Pour cela on additionne les probabilités telles que 
ou 
ou 
soit : 
.
On appelle 
la variable aléatoire égale au nombre de succès d’un joueur à l’épreuve des tirs au but au cours de 10 entraînements, c’est à dire le nombre de fois où il a marqué au moins 8 buts.
Si au cours d’une séance d’entraînement, il ne marque pas au moins 8 buts, on dit qu’il a eu un échec
Les épreuves n’ont que deux issues possibles.
Les résultats d’un joueur à chacune des séries sont indépendants.
Les tirs sont répétés 10 fois.
On a bien une loi binomiale de paramètres 10 et 0,61.
Déterminons l’espérance mathématiques de : Elle est égale à 
soit 6,1.
Ce qui signifie qu’en moyenne le tireur réussit 6 fois au moins 8 tirs au but sur les dix entraînements.
Déterminons le nombre minimal d’entrainement auxquels doit participer le joueur pour que la probabilité d’avoir au moins un succès soit strictement supérieur à 0,99.
On cherche 
tel que : 
.
Soit 
On obtient 
Conclusion : Le joueur doit participer à au moins 5 entraînements pour que la probabilité d’avoir au moins un succès soit strictement supérieur à 0,99
A toi de jouer : probabilités et penalties
Un footballeur tire des penalties. Une étude statistique sur son taux de réussite montre qu’il marque le but avec une probabilité de 0.75.
Ce footballeur tire une série de dix penalties. On suppose que les différents tirs sont indépendants.
- Son entraîneur, qui est fort en mathématiques, lui affirme qu’il a à peu près autant de chances de réussir 5 penalties que de les réussir tous. A-t-il raison ?
- L’entraineur renchérit en disant à son joueur qu’il a plus d’une chance sur deux de réussir au moins 8 penalties.
Cet entraîneur est-il vraiment fort en mathématiques ?
Clique sur l’image pour voir la correction en grand 😉
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