Grâce à votre e-prof de soutien scolaire de maths en ligne, suivez ces 3 démonstrations en géométrie spécial collège.
Conseils pour bien aborder une démonstration en géométrie
- Bien lire l’énoncé
- Faire une figure si elle n’est pas donnée
- Repérer dans l’énoncé les hypothèses (ce que l’on sait). C’est à partir de ces hypothèses (ou données) que l’on va construire la démonstration.
- Ne pas perdre de vue l’objectif de l’exercice (ou de la question à, c’est-à-dire ce que l’on veut démontrer.
- Rédiger la démonstration.
Celle-ci peut contenir plusieurs étapes. Pour chaque étape, il faut énoncer :
- Ce que l’on sait
- Ce que l’on utilise (Définitions, théorèmes)
- Ce que l’on en déduit.
On peut au début pour s’entraîner utiliser un tableau comme montré dans l’exemple ci-dessous.
Exemples proposés :
Exemple 1 (Niveau 6eme)
Soit une droite (d1) perpendiculaire à une droite (d3) ; et une droite (d2) perpendiculaire à la droite (d3). Que peut-on dire des droites (d1) et (d2) ?
Figure correspondant à cet énoncé :
Complétons le tableau suivant :
| Ce que l’on sait | Ce que l’on utilise
Théorème, définition |
Ce que l’on en déduit |
| (d1) est perpendiculaire à (d3)
(d2) est perpendiculaire à (d3)
|
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. | (d1) et (d2) sont parallèles |
Exemple 2 (Niveau 5eme)
MNOP est un quadrilatère tel que : (MN) // (OP) et (NO) // (PM).
Que peut-on dire de ce quadrilatère ?
Figure correspondant à cet énoncé :
Complétons le tableau suivant :
| Ce que l’on sait | Ce que l’on utilise
(Théorème, définition) |
Ce que l’on en déduit |
| (NO) // (PM) (MN) // (OP) |
Si un quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux parallèles alors c’est un parallélogramme. | Donc MNOP est un parallélogramme. |
Exemple 3 (Niveau 4eme)
Soit ABC un triangle rectangle en A. On note D le milieu de [BC]. La parallèle à (AB) passant par D coupe (AC) en E.
Démontrer que la droite (DE) est la médiatrice de [AC].
Figure correspondant à cet énoncé :
Complétons le tableau suivant :
| Ce que l’on sait | Ce que l’on utilise
( Théorème, définition) |
Ce que l’on en déduit |
| D est milieu de [BC] et (AB) // (DE) |
Si dans un triangle, une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle au deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu. (Théorème de la droite des milieux) | Donc E milieu de [AC] |
| (DE) // (AB) et (AB) perpendiculaire à (AC) |
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. | Donc (DE) perpendiculaire à (AC) |
| E milieu de [AC] et (DE) perpendiculaire à (AC) |
La droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu est la médiatrice de ce segment. | Donc (DE) médiatrice de [AC]. |
Exemple de rédaction de cette démonstration : (en bleu hypothèses, en vert les théorèmes ou définition, et en rouge les conclusions).
Dans le triangle ABC, D est le milieu de [BC] et (DE) parallèle à (AB).
D’après le théorème des milieux , si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.
On en déduit que E est le milieu de [AC].
Le triangle ABC est rectangle en A, donc (AB) perpendiculaire (AC).
De plus (DE) est parallèle) à (AB).
Lorsque deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Donc (DE) est perpendiculaire à (AC).
La droite (DE) est perpendiculaire à la droite (AC) et elle passe par le milieu de [AC].
Par définition de la médiatrice d’un segment, (droite passant par le milieu du segment et perpendiculaire à celui-ci), la droite (DE) est la médiatrice du segment [AC].
Exercice de géométrie spécial préparation Brevet
La droite passant par K et perpendiculaire à la droite (EF) coupe (EF) en L.
Corrigé de l’exercice |
Retrouvez tous nos articles de maths sur notre blog de soutien scolaire en ligne
Répondre
Want to join the discussion?Feel free to contribute!