Histoire et mathématiques se retrouvent dans ce cours de soutien scolaire en ligne niveau lycée (première) sur la résolution des équations du second degré par Al Khawarizmi.
Nous sommes au IXe siècle, à Bagdad. Le calife Al-Maûn (813-833) est entouré de savants qui rassemblent les connaissances de leur époque. Ils sont traducteurs, philosophes, astronomes, mathématiciens, théologiens.
Parmi eux, Mohammed ibn Musa al Khawarizmi (780-850) va marquer l’histoire des mathématiques. Il est originaire d’une ville d’Ouzbékistan dans la province du Khwarizm. Il a écrit trois ouvrages sur les mathématiques dont un qui traite de la résolution des équations du second degré.
Méthode de résolution proposée par Al Khawarizmi.
Exemple : Déterminons la solution positive de l’équation 
. Appellons 
cette équation.
Etape 1 : on suppose que 
est positif et on construit un carré de côté .
Etape 2 : on borde ce carré de 2 rectangles dont l’aire vaut 
. On obtient ainsi 5 comme autre dimension.
Etape 3 : on complète alors le carré.
Exprimons l’aire du carré de deux façons différentes
et 
On en déduit que :
.
Soit : 
.
a) Montrons que résoudre l’équation revient à résoudre l’équation 
.
Résoudre revient à résoudre 
Soit encore : 
.
Soit : .
b) Déterminons alors la solution positive de l’équation .
Soit 
On obtient : 
c) Déterminons l’autre solution de l’équation .
Soit 
On obtient : 
Vous pouvez vérifier les résultats en utilisant la méthode
classique de résolution d’une équation du second degré.
(Utilisation de discriminant)
Le procédé de résolution d’ Al Khawarizmi consiste donc :
- à diviser
par deux, soit dans notre exemple 
, - puis à le multiplier par lui-m\^{e}me ce qui donne
, - à ajouter 39 à ce résultat (cela donne
), - à prendre alors sa racine carrée soit
, - à retrancher la moitié de qui vaut 5 soit 8-5.
On obtient 3.
C’est la valeur positive de que l’on cherche.
Application : déterminons la solution positive de l’équation : 
Divisons par deux, soit dans notre exemple 4.
Multiplions par lui-mê}me ce qui donne 16.
Ajoutons 84 à ce résultat. Cela donne 100.
On prend alors sa racine carrée soit 10.
Retranchons la moitié de qui vaut 4.
Il reste 6.
C’est la solution positive de l’équation.
Programme scratch correspondant
Programme Python correspondant
Le plus de ton prof de soutien scolaire en ligne : cas général.
Appliquons la règle d’Al Khawarizmi à l’équation 
.
Divisons par deux, soit 
.
Multiplions par lui-même ce qui donne 
.
Ajoutons 
à ce résultat. Cela donne 
.
On prend alors sa racine carrée soit 
Retranchons la moitié de b on obtient : 
C’est la solution positive de l’équation.
Remarque : Cette solution existe si et seulement si 
soit 
.
A vous de modifier les deux programmes pour tenir compte de cette condition.
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