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13Déc

Suites et escargots : suite arithmético-géométrique

Mathématiques Lycée0 Commentaires

Arithmétique et géométrie se retrouvent dans ce cours de mathématiques en ligne niveau lycée (terminale) mettant en avant un escargot escaladeur.

Niveau : Lycée Terminale.

La situation :

Un escargot sportif décide d’escalader un mur de 4m.

Chaque jour, il grimpe de 2m, mais la nuit il redescend de la moitié de la hauteur qu’il a atteinte.

Ainsi au cours de la 1ere nuit il redescend d’un mètre et se trouve donc à 1m du sol.

L’objectif : En partant de l’évidence qu’il débute son ascension un matin, l’objectif est de savoir si l’escargot arrivera à monter le mur, et si oui, au bout de combien de jours ?

On appelle U_n la distance parcourue par l’escargot à la fin de la n^ieme nuit.

Ainsi U₀=0 ; U₁=2-2*0.5=1 ; U₂₌1+2-3*0.5=1,5

Le but de cette énigme est donc de savoir s’il existe n tel que U_n>2.

(En effet si l’escargot a parcouru une distance supérieure à 2m à la fin de la n^ièmenuit, comme il parcourt 2m dans la journée il arrivera bien en haut du mur, haut de 4m)

Visualisons cette situation à l’aide d’un tableur.

D’après le tableur, il semblerait que l’escargot atteint le haut du mur le 23eme jour, vérifions par le calcul si cela est vrai.

Par le calcul :

On peut écrire : $U_{n+1}=U_{n}+2-(U_{n}+2)\times 0,5$

Ce qui donne : $U_{n+1}=\frac{1}{2}U_{n}+1$

On remarque que $(U_{n})$ est une suite arithmético-géométrique.

Soit une suite $(V_{n})$ définie par : $V_{n}=U_{n}+a$

Déterminons $a$ pour que $(V_{n})$ soit une suite géométrique de
raison $\frac{1}{2}$

$(V_{n})$ suite gémétrique de raison $\frac{1}{2}$ donc $V_{n+1}=% \frac{1}{2}V_{n}$

Or $V_{n+1}=U_{n+1}+a$

On a donc $U_{n+1}+a=\frac{1}{2}\left( U_{n}+a\right)$

$Gérard soutien scolaire mathématiques en ligne$ Soit encore : $\frac{1}{2}U_{n}+1+a=\frac{1}{2}U_{n}+\frac{1}{2}a$

On obtient donc : $a-\frac{a}{2}=-1$ et par conséquent $a=-2$

On a donc $(V_{n})$ définie par : $V_{n}=U_{n}-2$

$(V_{n})$ suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de 1er terme $% V_{0}=U_{0}-2=-2$ .

Par conséquent : $V_{n}=-2\times \frac{1}{2^{n}}$ et $% \lim\limits_{n\longrightarrow \infty }\left( V_{n}\right) =0$ car $-1<q<1$

$V_{n}=U_{n}-2$ donc $U_{n}=V_{n}+2$ et $\lim\limits_{n\longrightarrow \infty }\left( U_{n}\right)=2$ .

Conclusion : L’escargot se rapproche du haut du mur mais ne l’atteint jamais.

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