Transformation au rugby avec GeoGebra | Cours de maths en ligne

Dans cet article niveau terminale S, notre e-prof en ligne de soutien scolaire mathématiques vous propose un exercice associant géométrie et rugby.

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Ce cours de soutien scolaire mathématiques en ligne ayant pour thème la transformation au rugby est proposé d’après un exercice de maths donné au Bac S en juin 2016 en Métropole.

Niveau : TS
Pré requis : Réaliser une figure de géométrie dynamique en respectant une échelle.

Placer un point libre sur un objet, visualiser la mesure d’un angle.

Trigonométrie. Etude d’une fonction.

Ce soir, c’est France-All Black au stade de France pour la finale de la coupe du monde 2023 de rugby. Nous sommes à la 78ème minute, la France vient de marquer un essai au point $E$ (voir figure ci-dessous) situé à l’extérieur du segment $[AB]$ , à 10 mètres à droite du poteau droit. Le score est à présent de 24 – 25 en faveur des Blacks. Un joueur Français doit transformer l’essai qui a été marqué.
La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point $T$ que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment $[EM]$ perpendiculaire à la droite $(AB)$ sauf en $E$ . La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points $A$ et $B$ sur la figure.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point $T$ qui rend l’angle $\widehat{ATB}$ le plus grand possible.

Vous êtes ramasseur de balle, vous récupérer le ballon pour le donner au joueur avant sa transformation. En lui passant le ballon, vous lui susurrez : « Place-toi à 12,5 mètres de la ligne d’en-but ! Ton angle sera maximal ! »

Le joueur interloqué répond avec sourire : « Ah ouais, il vaut combien cet angle ? »

Soucieux de donner un coup de main à l’équipe de France, vous vous mettez au boulot.

Le but de cet exercice est donc de rechercher, si elle existe, la position du point $T$ sur le segment $[EM]$ pour laquelle l’angle $\widehat{ATB}$ est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Les dimensions du terrain sont les suivantes : $EM$ = 50 m, $AB$ = 5,6 m et $EA$ = 10 m

1re méthode: Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique

Construire à l’aide du logiciel GeoGebra une figure décrivant la moitié d’un terrain de rugby avec la ligne d’en-but, les poteaux, … (on prendra comme échelle 1 cm pour 2,5 m)

Sur l’axe des abscisses, placer $A$ et $B$ base des poteaux gauche et droit distants de 5,6 m, où $A$ a pour coordonnées $( 0 ; 0 )$ ;

E le point de la ligne d’en-but perpendiculaire à l’essai du joueur Français, situé à 10 m à droite de $A$ .
$M$ situé sur la perpendiculaire à la ligne d’en-but à 50 m de celle-ci.

$T$ la position du joueur tentant la transformation, variable sur 50 m perpendiculairement à la ligne d’en-but.

Afficher ensuite : la distance $ET$ et la mesure de l’angle $\widehat{ATB}$ .

En déplaçant le point T, retrouver le résultat susurré au joueur.

Aide Prof Express : tracer le cercle circonscrit au triangle $AMB$ et noter $O$ son centre.
Vous devez constater que la position optimale de $T$ correspond au cas où le cercle circonscrit au triangle $ATB$ est tangent à la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $E$ , c’est-à-dire que la droite $(OT)$ est parallèle à $(AB)$ .

Vous devez obtenir une figure ressemblant à celle-ci.

Le fichier est téléchargeable par ce lien !

2e méthode: Etude d’une fonction numérique

Dans toute la suite, on note $x$ la longueur $ET$ , que l’on cherche à déterminer.

On note $\alpha$ la mesure en radian de l’angle $\widehat{ETA}$ , $\beta$ la mesure en radian de l’angle $\widehat{ETB}$ et $\gamma$ la mesure en radian de l’angle $\widehat{ATB}$ .

Dans le triangle $ETA$ rectangle en $E$ , en utilisant les relations trigonométriques élémentaires nous avons : $\tan ( \alpha )= \frac{EA}{ET} = \frac{10}{x}$

De même en travaillant dans le triangle $ETB$ rectangle en $E$
nous avons: $\tan ( \beta )= \frac{EB}{ET} = \frac{15,6}{x}$

On admet que pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $\left]0;\frac{\pi}{2}\right]$
$\tan (a-b)=\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a) \times \tan(b)}$
Nous avons : $\gamma = \beta - \alpha$ et il s’ensuit que :
$\tan(\gamma)=\tan(\beta-\alpha)=\frac{\tan(\beta)-\tan(\alpha)}{1+\tan(a) \times \tan(b)}=\frac{\frac{15,6}{x}-\frac{10}{x}}{1+\frac{15,6}{x}\times \frac{10}{x}}$