Trigonométrie + ski = Trigonomeski

$Rebecca, prof de soutien scolaire maths en ligne$ Votre E-Prof de mathématiques en ligne Rébouchka vous propose de faire des maths sur les pistes. En avant pour un peu de trigonométrie sur les skis !

Cet exercice de soutien scolaire mathématiques en ligne te permettant d’atteindre des sommets… de connaissances est destiné au collège, niveau : 4e.

Sam skie sur une pente faisant un angle de 12° avec l’horizontale.

La longueur de la piste est de 2000 m.

Au départ Sam se trouve à une altitude de 1800 m. A quelle altitude se trouve l’arrivée ?

Essayons de représenter ce problème sous forme d’un schéma.

Si on note $S$ le point où se trouve Sam , $A$ le point où se trouve l’arrivée et $M$ le point situé à la verticale de S à la même altitude que l’arrivée, on se trouve avec un triangle rectangle $SAM$ dont on ne connait que la mesure d’un angle et celle d’un côté. Le point $O$ est au niveau de la mer à la verticale de Sam.

Quels outils peut-on utiliser pour résoudre ce problème ?

Comme dans tous les problèmes où interviennent :

un triangle rectangle,
un angle,
les mesures de côtés,

Ce sont les formules relatives au cosinus , au sinus et à la tangente d’un angle qu’il faut considérer !

Un petit rappel :
Dans un triangle rectangle , le plus long côté s’appelle l’hypoténuse , facile à repérer puisqu’il est en face de l’angle droit.
Considérons un triangle $ABC$ rectangle en $C$ .

Si je veux considérer l’angle B :

le côté opposé à l’angle en $B$ est celui qui se trouve en face de l’angle en $B$ ,
le côté adjacent à l’angle en $B$ est celui qui se trouve «à côté» de l’angle en $B$ mais qui n’est pas l’hypoténuse.

Mais si je choisis l’angle A :

le côté opposé à l’angle en $A$ est celui qui se trouve en face de l’angle $A$ ,
le côté adjacent à l’angle en $A$ est celui qui se trouve «à côté» de l’angle $A$ mais qui n’est pas l’hypoténuse.

Cela nous permet de définir les formules suivantes :

le cosinus de l’angle $\widehat{A}$ s’obtient en divisant le côté adjacent à l’angle en A par l’hypoténuse,
le sinus de l’angle $\widehat{A}$ s’obtient en divisant le côté opposé à l’angle en A par l’hypoténuse,
la tangente de l’angle $\widehat{A}$ s’obtient en divisant le côté opposé à l’angle en A par le côté adjacent à l’angle A.

Ce qui nous donne :

Rassemblons les lettres de couleur :

Sam avait bien raison de nous rappeler que l’on peut s’en souvenir en disant « CAH SOH TOA » !

Nous avons d’ailleurs laissé notre pauvre Sam en haut de la piste depuis tout ce temps. Il sait grâce à son altimètre qu’il est à une altitude de 1800 m, mais il commence à sérieusement se geler et aimerait bien savoir à quelle altitude se trouve l’arrivée.

Nous allons donc l’aider le plus rapidement possible.
Reprenons notre triangle du départ :

Nous avons en $A$ un angle de mesure connue (12°) que nous pouvons utiliser. Nous connaissons aussi la distance $SA$ qui correspond à l’hypoténuse du triangle. Nous cherchons la distance $SM$ qui correspond au côté opposé à l’angle en $A$ .
Quelle formule fait intervenir le côté opposé et l’hypoténuse ? Le sinus bien sûr !