Aujourd’hui, soutien scolaire mathématiques niveau troisième, la question: “le pentagone selon la méthode de Guédelon est-il vraiment un pentagone?”

Dans la réponse à mon dernier article, je vous disais que la méthode que suggérait la figure suivante était un pentagone.

Avis aux courageux, nous allons le démontrer ! Une note préalable, cependant. Pour chaque partie de ma démonstration, je vous enverrai une fiche de rappel Prof Express où vous verrez des cadres d’applications plus scolaires des propriétés que j’utilise.

Appliquer le cosinus

Comme je ne tiens pas à vous perdre en route, voici la figure finale à laquelle je vais aboutir.

Au final, je veux pouvoir appliquer le cosinus, pour obtenir un angle de 54°, ce qui me permettra de calculer =72°. Et comme 72° est le cinquième de 360°, j’aurai démontré que la figure tracée est un polygone régulier à 5 côtés, un pentagone.

Pour commencer, la médiatrice

Rappelons-nous sa définition :

la médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment en son milieu de manière perpendiculaire. Elle a aussi la propriété selon laquelle si un point est équidistant aux extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Mettons ceci en application :

Ici, les points et appartiennent au cercle de centre C et de rayon CE et au cercle de centre E et de rayon CE. Nous avons bien donc , ce qui permet de dire que appartient à la médiatrice de [EC], de même pour . La médiatrice de [EC] est donc la droite  et elle coupe [CE] en H, son  milieu.

Le théorème de Pythagore et la trigonométrie

Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore nous dit que,  le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés et le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l’hypoténuse.

Voyons comment on peut l’utiliser, ici, en supposant que CE=2.

En détails, voici les trois trois triangles où je cherche à appliquer le théorème de Pythagore :

Finalisation du pentagone

Le triangle DCT est un triangle isocèle aussi ses angles à la base sont-ils égaux. On a donc :

 CTD = TDC = 54º

De plus, la somme des angles d’un triangle est égale à 180°, donc :

 DCT = 180º – CTD – TDC = 180º – 54º – 54º = 72º

CQFD.

Le truc PROF EXPRESS

Je vous conseille vivement de séparer chaque cadre d’application, pour chaque théorème. Au besoin, dessinez la partie de la figure qui vous intéresse à part, afin de travailler dessus.

De plus, si vous voulez voir et manipuler le résultat fait par mes soins, rendez-vous sur ce lien GeoGebra où vous pourrez manipuler ma figure de début d’article.

A vous, maintenant ! Serez-vous capable d’utiliser une technique ne mettant en jeu que la règle non graduée et le compas de manière à construire un dodécagone, c’est à dire un polygone régulier à 12 côtés ? Bon courage !

Vu, le Pentagone à Washington !

L’avez-vous remarqué ? Le pentagone apparaît aux Etats-Unis, près de Washington

Ce bâtiment qui abrite le quartier général du département de la Défense évoque la force et la stabilité du pouvoir militaire américain.

Vous pensez qu’ils ont utilisé un compas de quelle taille pour le construire ?