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En route vers le Bac : Graphes probabilistes
Niveau : Terminale ES (Spécialité)
Dans une équipe de football, on étudie les passes que se font trois attaquants A, B et C.
Les probabilités qu’un attaquant passe le ballon à un autre sont :
A pour B: 2/3 ; B pour C: 1 /2 et C pour A: 3/4
Chaque passe de ballon correspond à une nouvelle expérience aléatoire dont les issues sont A, B ou C (un des trois attaquants est susceptible de recevoir le ballon).
Mission 1 : Etablir le graphe et en déduire la matrice de transition.
Réponse
La matrice de transition est :
Remarques :
– Le coefficient a11 de la matrice M est nul car la probabilité que l’attaquant A garde le ballon est nulle. Il en est de même pour les coefficients a22 et a33.
– La somme des coefficients d’une même ligne de la matrice de transition est bien égale à 1.
L’état probabiliste après 3 étapes donne les probabilités que le ballon se trouve chez l’attaquant A ou chez l’attaquant B ou chez l’attaquant C après 3 passes.
Mission 2 : Représentez l’arbre de probabilité de l’étape n à l’étape n+1
Réponse :
On appelle pn la probabilité que le ballon soit dans les pieds de l’attaquant A à l’étape n ; qn dans les pieds de l’attaquant B et rn dans les pieds de l’attaquant C.
Et pn+1 la probabilité que le ballon soit dans les pieds de l’attaquant A à l’étape n+1 ; qn+1 dans les pieds de l’attaquant B et rn+1 dans les pieds de l’attaquant C.
Arbre de probabilités de l’étape n à l’étape n+1.
Supposons que l’attaquant A possède le ballon à l’étape 0.
Mission 3 : Déterminez la probabilité que l’attaquant A possède, à nouveau, le ballon après la 3eme passe.
Réponse :
A l’aide de la formule des probabilités totales, on a
Notons l’état probabiliste après étapes et celui après étapes.
On a alors :
La matrice ligne des états après la 3eme étape est donc ,
mais et
Donc : avec car le ballon part de A.
Avec la calculatrice, on obtient
Ainsi,
Conclusion : La probabilité que l’attaquant A possède de nouveau le ballon après la 3e passe, est donc égale à 7/24, soit environ à 0,29 .
Il y a donc 29% de chance que le ballon soit de nouveau dans les pieds de l’attaquant A après la 3eme passe.
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