Gérard soutien scolaire mathématiques en ligneTon e-prof de soutien scolaire en ligne te propose cet article de préparation bac associant football et graphes probabilistes.

En route vers le Bac : Graphes probabilistes

Niveau : Terminale ES (Spécialité)

Dans une équipe de football, on étudie les passes que se font trois attaquants A, B et C.

Les probabilités qu’un attaquant passe le ballon à un autre sont :

A pour B: 2/3 ; B pour C: 1 /2 et C pour A:  3/4

Chaque passe de ballon correspond à une nouvelle expérience aléatoire dont les issues sont A, B ou C (un des trois attaquants est susceptible de recevoir le ballon).

Mission 1 : Etablir le graphe et en déduire la matrice de transition.

Réponse

Préparation bac : Graphes probabilistes

La matrice de transition est :

M=\left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 0,5 & 0 & 0,5 \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0% \end{array}% \right) \begin{array}{c} \leftarrow \text{ Transition du sommet }A\text{ vers les autres sommets} \\ \leftarrow \text{ Transition du sommet }B\text{ vers les autres sommets} \\ \leftarrow \text{ Transition du sommet }C\text{ vers les autres sommets}% \end{array}%

Remarques :

– Le coefficient a11 de la matrice M est nul car la probabilité que l’attaquant A garde le ballon est nulle. Il en est de même pour les coefficients a22 et a33.

– La somme des coefficients d’une même ligne de la matrice de transition est bien égale à 1.

L’état probabiliste après 3 étapes donne les probabilités que le ballon se trouve chez l’attaquant A ou chez l’attaquant B ou chez l’attaquant C après 3 passes.

Mission 2 : Représentez l’arbre de probabilité de l’étape n à l’étape n+1

Réponse :

On appelle pn la probabilité que le ballon soit dans les pieds de l’attaquant A à l’étape n ; qn dans les pieds de l’attaquant B et rn dans les pieds de l’attaquant C.

Et pn+1 la probabilité que le ballon soit dans les pieds de l’attaquant A à l’étape n+1 ; qn+1 dans les pieds de l’attaquant B et rn+1 dans les pieds de l’attaquant C.

Arbre de probabilités de l’étape n à l’étape n+1.

préparation bac mathématiques : Arbre de probabilités

Supposons que l’attaquant A possède le ballon à l’étape 0.

Mission 3 : Déterminez la probabilité que l’attaquant A possède, à nouveau, le ballon après la 3eme passe.

Réponse :

A l’aide de la formule des probabilités totales, on a

\left\{ \begin{array}{c} p_{n+1}=0,5q_{n}+\frac{3}{4}r_{n} \\ q_{n+1}=\frac{2}{3}p_{n}+\frac{1}{4}r_{n} \\ r_{n+1}=\frac{1}{3}p_{n}+0,5q_{n}% \end{array}% \right.

Notons P_{n}=% \begin{pmatrix} p_{n} & q_{n} & r_{n}% \end{pmatrix}% l’état probabiliste après n étapes et P_{n+1} celui après n+1 étapes.

On a alors : P_{n+1}=P_{n}\times M

La matrice ligne des états après la 3eme étape P_{3} est donc P_{3}=P_{2}\times M ,

mais P_{2}=P_{1}\times M et P_{1}=P_{0}\times M

Donc : P_{3}=P_{0}\times M^{3} avec P_{0}=% \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0% \end{pmatrix}% car le ballon part de A.

Avec la calculatrice, on obtient M^{3}=% \begin{pmatrix} %TCIMACRO{\U{b0} }% 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0% \end{pmatrix}% ^{3}=% \begin{pmatrix} \frac{7}{24} & \frac{17}{36} & \frac{17}{72} \\ \frac{17}{48} & \frac{7}{24} & \frac{17}{48} \\ \frac{17}{32} & \frac{17}{96} & \frac{7}{24}% \end{pmatrix}%

Ainsi, P_{3}=% \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0% \end{pmatrix}% \times \begin{pmatrix} \frac{7}{24} & \frac{17}{36} & \frac{17}{72} \\ \frac{17}{48} & \frac{7}{24} & \frac{17}{48} \\ \frac{17}{32} & \frac{17}{96} & \frac{7}{24}% \end{pmatrix}%

P_{3}=% \begin{pmatrix} \frac{7}{24} & \frac{17}{36} & \frac{17}{72}% \end{pmatrix}%

Conclusion : La probabilité que l’attaquant A possède de nouveau le ballon après la 3e passe, est donc égale à 7/24, soit environ à  0,29 .

Il y a donc 29% de chance que le ballon soit de nouveau dans les pieds de l’attaquant A après la 3eme passe.

0 réponses

Répondre

Want to join the discussion?
Feel free to contribute!

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Veuillez répondre à la question suivante *