Révisons ce cours de mathématiques en ligne niveau lycée (terminale) sur les graphes et les matrices avec un exercice sur la météo.

Fera-t-il beau demain?

En route pour le Bac : Graphes et Météo.

Niveau : TES (Spécialité) – TS (Spécialité).

Connaissances requises : Graphes Probabilistes – Matrices.

Énoncé et correction :

Dans une région, on note B l’état “il fait beau” et C l’état “Il ne fait pas beau”.

Si il fait beau un jour, la probabilité qu’il refasse beau le lendemain est de \frac{1}{3}.

Si il ne fait pas beau un jour, la probabilité qu’il ne refasse pas beau le lendemain est de \frac{1}{4}.

Aujourd’hui il fait beau.

Représentons ces données par un graphe probabiliste G de sommet B et C, et déterminons sa matrice de transition M.

Graphe G :

Matrice de Transition:

M=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}

Pour un entier naturel n donné, on note Q_{n}=\left(\begin{array}{cc} b_{n} & c_{n}\end{array}\right) la matrice ligne décrivant l’état probabiliste lors de la journée n.

Il fait beau aujourd’hui, l’état probabiliste initial est donc Q_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\end{array}\right).

Déterminons la probabilité qu’il fasse beau le 7e jour.

On a Q_{2}=Q_{1}\times MQ_{1} est l’état initial.

Q_{3}=Q_{2}\times M=Q_{1}\times M^{2}

et ainsi de suite.

On a donc : Q_{7}=Q_{1}\times M^{6}

A la calculatrice on trouve : Q_{7}=\left(\begin{array}{cc} 0,531 & 0,468\end{array}\right)

Donc il y a environ 53% de chance qu’il fasse beau le 7e jour.

Quel est est l’état stable du graphe G ?

Que peut-on en conclure ?

L’état stable existe car il n’y a pas de coefficient nul dans la matrice de transition.

Soit P la matrice correspondant à cet état stable P=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}.

On a P=P\times M et x+y=1

P=P\times M soit \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}x+\frac{3}{4}y & \frac{2}{3}x+\frac{1}{4}y\end{pmatrix}

Ce qui nous donne : \frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=0 soit 8x=9y Soit encore x=\frac{8}{9}y

Or x+y=1 soit y=1-x.

On a donc : x=\frac{8}{9}(1-x) Soit 17x=9

Conclusion: x=\frac{9}{17} et y=\frac{8}{17}

L’état stable est est défini par la matrice : P=\begin{pmatrix}\frac{9}{17} & \frac{8}{17}\end{pmatrix} ou encore P=\begin{pmatrix}0,53 & 0,47\end{pmatrix}

On peut donc estimer qu’au bout d’un certain temps il y aura 53% de chance qu’il fasse beau.

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