Le crocodile écossais

Un crocodile et un zèbre mettent l’Ecosse en émoi…

Problème de maths : un crocodile peine à attraper l’objet de son appétit dans un temps record et des parents, enfants et enseignants s’indignent. Prof Express a planché… et trouvé !

C’est l’actualité mathématiques du moment, idéale pour un peu de soutien scolaire ludique pendant les vacances de Toussaint : un exercice intitulé « le crocodile et le zèbre » a fait perdre leurs moyens aux élèves. À tel point que les correcteurs ont revu à la baisse le seuil d’obtention de l’examen, explique RTL.fr.

Difficile de juger de la légitimité de cette véritable douche écossaise car il faudrait mettre en regard les attentes sur les productions des élèves pour ce problème particulier et ce qui est habituellement attendu de leur part. Seul un spécialiste du Scottish système scolaire pourrait se prononcer.

Il est par contre intéressant de pointer un possible décalage entre l’objet de l’essence même des mathématiques et celui des enseignements liés aux mathématiques dans la situation concernée.

Il existe mille chemins qui mènent à la solution. Est-ce le chemin emprunté ou l’arrivée à destination qui compte vraiment ?

Manifestement, il est plus question ici des moyens que de la fin. Pourtant, quel que soit le niveau, il y a plusieurs approches pour ne pas sécher au bord de la rivière…

Viendrez-vous à bout de l’exercice de maths qui a tenu en échec les bacheliers écossais ?, demande le journal Le Monde. Prof Express répond « oui, bien entendu ! »

Le Crocodile et le Zèbre : énoncé du problème (reformulé par souci de simplification) niveau lycée

Un crocodile met une durée T pour rejoindre sa proie.

Cette durée T dépend d’une distance x projetée sur la berge d’une rivière et est modélisée par une fonction mathématique dont l’expression T ( x ) est donnée dans l’énoncé.

Le problème comporte trois questions, chacune d’entre elles pouvant se traduire par la recherche d’une valeur particulière de x.

(a) (i) : Calculer le temps mis si x = 20 m

Traduction : « calculer T ( 20 ) »

(a) (ii) : Calculer le temps mis si x = 0 m

Traduction : « calculer T ( 0 ) »

(b) : Déterminer x afin que la durée soit la plus courte possible puis calculer cette durée

Traduction : « déterminer Xoptimum tel que T ( Xoptimum ) soit minimal et donner cette dernière valeur »

Nous proposerons trois approches de résolution au problème du Crocodile écossais en fonction du niveau et des moyens mis à notre disposition.

Solution mathématique pour un élève de filière professionnelle

Un élève devant résoudre, avec le maximum d’efficacité, des problèmes techniques concrets n’est pas obligé de faire preuve d’une grande virtuosité technique. C’est tout à fait logique d’ailleurs.

Il a par contre à sa disposition un outil d’une grande puissance : la machine à calculer scientifique dont l’utilisation est très encouragée dans les référentiels et pratiquée au quotidien durant sa formation. Cette dernière machine permet en quelques étapes très simples de donner la réponse ! La preuve en image :

On lit directement sur les graphiques que le crocodile mettrait respectivement 10,4 secondes, 11,0 secondes et 8,9 secondes suivant qu’il aille tout droit dans la rivière, qu’il traverse cette dernière au plus court ou qu’il choisisse le chemin optimum (ce dernier défini par une distance x de 8 mètres).

Une bonne connaissance des outils informatiques et de la calculatrice est requise. Cette capacité à utiliser les outils modernes permet de résoudre un grand nombre de problèmes apparemment complexes.

Conseil de l’E-prof de maths Prof Express  :

la progression dans ce domaine passe par quelques heures passées à pianoter sur sa calculatrice. N’hésitez pas : c’est très ludique finalement !

Solution mathématique pour un élève de filière générale

Ici, il peut être demandé, pour la beauté du geste et la démonstration d’une certaine culture mathématique de mettre en exergue des techniques apprises en cours (et en l’occurence fondamentales).

Les deux premières questions se résolvent par un calcul direct des images de 0 et de 20 par la fonction T, il n’y a pas de mystère. La difficulté réside dans la résolution de la question ( b ). Pour y répondre, l’élève doit d’une part savoir que la solution est donnée par l’étude d’une fonction déduite de la fonction T et appelée fonction dérivée de T et appelée T’. La valeur de x minimisant T ( x ) est celle pour laquelle T’ ( x ) = 0, à condition que T’ ( x ) soit négatif pour des valeurs de x inférieures à Xoptimum et positif pour des valeurs de x supérieures à Xoptimum.

Tous les détails des calculs seront fournis sur demande aux curieux. N’hésitez pas à les réclamer à votre E-prof de maths qui vous expliquera tout en détail !

Une bonne connaissance des règles apprises en cours et une bonne connaissance des techniques de calcul permettent de venir à bout du problème. Le coeur de cette capacité est de savoir prendre du recul sur les méthodes et de bien connaître le chemin à emprunter. Une fois sur ce chemin, il suffit de le suivre avec soin, en appliquant des techniques cent fois pratiquées à l’entraînement, sans se laisser distraire par le contexte de l’exercice.

Conseil de l’E-prof de maths :

On constate souvent que cette démarche en deux temps bien distincts (choix d’un chemin puis cheminement) est ce qui pose le plus de problèmes, beaucoup d’élèves ayant tendance à passer rapidement à des calculs hasardeux sans vraiment savoir où ils vont… N’hésitez pas à titre d’exercice à consulter un très grand nombre de problèmes, sur des annales par exemple, et à établir pour chacun une stratégie (sans forcément chercher absolument à l’appliquer). En parallèle de ce travail, prenez quelques dizaines de fonctions et dérivez, dérivez et dérivez encore ! Il sera très facile le jour de l’examen d’appliquer ces deux savoir-faire l’un après l’autre.

Solution mathématique(?) pour un élève aventurier

Se parer d’un déguisement aux rayures noires et blanches puis se rendre près d’une rivière où s’abreuvent régulièrement des zèbres et envahie de crocodiles, sans oublier de prendre avec soi un décamètre et d’un chronomètre.

Conseil de l’E-prof de maths :

A l’heure actuelle il est impossible de vous le transmettre : notre E-prof Aventurier est encore en expédition et n’a pas pu rédiger une description précise de cette technique…