Ton E-prof de soutien scolaire en ligne te propose la partie 2 du corrigé de l’épreuve de mathématiques Bac S 2018 donné en Amérique du Sud.

Le sujet Partie 2

Corrigé mathématiques 2ième partie.

 

Exercice 4 (Nombres complexes)

Corrigé bac maths 2018 Nombres complexes

On a \left\{ \begin{array}{c} z_{A}+z_{C}=z_{B}+z_{D} \\ z_{A}+iz_{B}=z_{C}+iz_{D}% \end{array}% \right. \left. \begin{array}{c} (1) \\ (2)% \end{array}% \right.

De la relation (1) on tire : z_{B}-z_{A}=z_{C}-z_{D} donc % \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

ABCD est un parallélogramme

De la relation (2) on tire : z_{A}-z_{C}=i\left( z_{D}-z_{B}\right)
donc : \left\vert z_{A}-z_{C}\right\vert =\left\vert i\left( z_{D}-z_{B}\right) \right\vert

et par conséquent : AC=BD

ABCD est un rectangle (diagonales de même longueurs)

De la relation (2) on tire : z_{C}-z_{A}=i\left( z_{D}-z_{B}\right)
donc \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{B}}=-i

Par conséquent \arg \left( \frac{z_{C}-z_{A}}{z_{D}-z_{B}}\right) =-\frac{% \pi }{2} et \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right) =-\frac{% \pi }{2} soit encore (AC) et (BD) perpendiculaires.

ABCD est un losange (diagonales perpendiculaires)

ABCD est parallélogramme, rectangle et losange donc ABCD est un carré.

 Retrouve ici les autres corrigés bac 2018 en ligne

 

Corrigé exercice 5 Non spécialité (Suites, logarithmes)

Corrigé exercice 5 maths Suites, logarithmes

correction bac maths amérique du sud 2018

 

u_{2}=\frac{u_{1}^{2}}{ku_{0}}=\frac{k^{2}}{k}=k ; u_{3}=\frac{u_{2}^{2}}{% ku_{1}}=\frac{k^{2}}{k^{2}}=1 ; u_{4}=\frac{u_{3}^{2}}{ku_{2}}=\frac{1}{% k^{2}}

a) Fomule: « =B3^2/($E$2*B2) »

b) Si k=2,7182818 alors \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( u_{n}\right) =0

Si k=0,9 alors \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( u_{n}\right) =+\infty

a) v_{n+1}-v_{n}=\ln \left( u_{n+2}\right) =\ln \left( u_{n+1}\right) -\ln \left( u_{n+1}\right) +\ln \left( u_{n}\right)

v_{n+1}-v_{n}=\ln \left( \frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}\right) -\ln \left( \frac{% u_{n+1}}{u_{n}}\right). Or, \frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}% \times \frac{1}{\func{e}}

Donc v_{n+1}-v_{n}=\ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right) \times \ln \left( \func{e}^{-1}\right) -\ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right) =\ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right) -1-\ln \left( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}% \right) =-1

v_{0}=\ln \left( u_{1}\right) -\ln \left( u_{0}\right) =\ln \left( \func{e}% \right) -\ln \left( 1\right) =1

v_{n} est donc une suite arithmétique de 1er terme v_{0}=1 et de raison % r=-1

b) On a donc v_{n}=v_{0}+nr soit v_{n}=1-n

4) a) Somme des termes d’ une suite aritmétique = \frac{\left( \text{1er terme}+\text{dernier terme}\right) \times \text{nombre de termes}}{2}

v_{n-1}=1-n+1=2-n

Donc S_{n}=\left( \frac{1+2-n}{2}\right) \times n soit S_{n}=\frac{% n\left( 3-n\right) }{2}

b) v_{0}=\ln \left( u_{1}\right) -\ln \left( u_{0}\right) ; v_{1}=\ln \left( u_{2}\right) -\ln \left( u_{1}\right) etc.

donc S_{n}=\ln \left( u_{1}\right) -\ln \left( u_{0}\right) +\ln \left( u_{2}\right) -\ln \left( u_{1}\right) +...+\ln \left( u_{n}\right) -\ln \left( u_{n-1}\right)

S_{n}=-\ln \left( u_{0}\right) +\ln \left( u_{n}\right) =-\ln \left( 1\right) +\ln \left( u_{n}\right)

et S_{n}=\ln \left( u_{n}\right)

5) a) S_{n}=\ln \left( u_{n}\right) donc u_{n}=\func{e}^{S_{n}} soit % u_{n}=\func{e}^{\frac{n\left( 3-n\right) }{2}}

\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n\left( 3-n\right) }{2}% \right) =-\infty et donc \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( u_{n}\right) =0

b) Algorithme :

  • n prend la valeur 0
  • u prend la valeur 1
  • Tant que u>10^{-50}
    • u prend la valeur exp(n*(3-n)/2)
    • n prend la valeur n+1
  • Fin du temps que
  • Afficher n

On trouve n=17

Avec une inéquation : on résout u_{n}<10^{-50}.

\func{e}^{\frac{n\left( 3-n\right) }{2}}<10^{-50} soit : \ln \left( \func{% e}^{\frac{n\left( 3-n\right) }{2}}\right) <\ln \left( 10^{-50}\right)

n\left( 3-n\right) <2\ln \left( 10^{-50}\right) soit encore % -n^{2}+3n-2\ln \left( 10^{-50}\right) <0

On obtient : n>16,7.

La plus petite valeur de n telle que u_{n}<10^{-50} est donc n=17

Corrigé bac maths exercice 5 Spécialité (Arithmétiques, Récurrence)

Corrigé bac maths Arithmétiques, Récurrence)

soutien scolaire en ligne corrigé bac amérique sud 2018

Nombre de Fermat F_{n}=2^{\left( 2^{n}\right) }+1

Partie A :

1) a)

F_{0}=2^{\left( 2^{0}\right) }+1=2^{1}+1=3

F_{1}=2^{\left( 2^{1}\right) }+1=2^{2}+1=4

F_{2}=2^{\left( 2^{2}\right) }+1=2^{4}+1=17

F_{3}=2^{\left( 2^{3}\right) }+1=2^{8}+1=257

b) F_{0} ; F_{1} ; F_{2} ; et F_{3} sont premiers, mais on ne peut
pas en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers.

2) On en déduit que 641 est le 1er entier supérieur ou égal à 2 qui divise % F_{5}. Or F_{5}>641 donc 641 est un diviseur strict de F_{5} et donc % F_{5} n’est pas premier.

Conclusion : les nombres de Fermat ne sont pas forcément premiers.

Partie B

Pour tout n>0 on a :

    \begin{eqnarray*} &&\left( F_{n-1}-1\right) ^{2}+1 \\ &=&\left( 2^{2^{n-1}}+1-1\right) ^{2}+1 \\ &=&\left( 2^{2^{n-1}}\right) ^{2}+1 \\ &=&2^{2^{n-1}\times 2^{1}} \\ &=&2^{2n-1+1}+1 \\ &=&2^{2n}+1 \end{eqnarray*}

On a donc \left( F_{n-1}-1\right) ^{2}+1=F_{n}

Montrons par récurrence la propriété :

\prod\limits_{i=0}^{n-1}F_{i}=F_{n}-2

Initialisation : Au rang n=1 on a \prod\limits_{i=0}^{0}F_{i}=F0=3 et % F_{1}-2=5-2=3

Hérédité : On suppose que pour n>0, on ait \prod% \limits_{i=0}^{n-1}F_{i}=F_{n}-2

Montrons qu’alors \prod\limits_{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+1}-2

\prod\limits_{i=0}^{n}F_{i}=\prod\limits_{i=0}^{n-1}F_{i}\times F_{n}=\left( F_{n}-2\right) \times F_{n}

Or, F_{n}=\left( F_{n-1}-1\right) ^{2}+1 soit F_{n}^{2}-2F_{n}+2

F_{n+1}-2=\left( F_{n-1}-1\right) ^{2}+1=F_{n}^{2}-2F_{n}

L’hérédité est donc vérifiée.

Conclusion : La propriété est vraie pour n=1 et héréditaire, donc pour
tout n>0 on a \prod\limits_{i=0}^{n}F_{i}=F_{n+1}-2.

D’après la question précédente \U{2236} \prod% \limits_{i=0}^{n-1}F_{i}=F_{n}-2

Soit

F_{0}\times F_{1}\times F_{2}\times ...\times F_{m}\times ...\times F_{n-1}=F_{n-2}

F_{m}\times F_{0}\times F_{1}\times F_{2}\times ...\times F_{m-1}\times F_{m+1}\times ...\times F_{n-1}=F_{n-2}

Soit encore F_{m}=\prod\limits_{\substack{ i=0 \\ i\neq m}}% ^{n-1}F_{i}=F_{n}-2

Gérard soutien scolaire mathématiques en ligneNotons q=\prod\limits_{\substack{ i=0 \\ i\neq m}}^{n-1}F_{i}

On obtient qF_{m}=F_{n}-2

Conclusion : Pour tout entier naturel n et m tels que n>m il existe un
entier naturel q=\prod\limits_{\substack{ i=0 \\ i\neq m}}^{n-1}F_{i} tel
que F_{n}-qF_{m}=2

4) Soit deux entiers naturels tels et m<n. D’après la question précédente
il existe un entier naturel q tel que F_{n}-qF_{m}=2.

D’après le Théorème de Bézout, 2 est un multiple du PGCD de (Fm,Fn).

Un nombre de Fermat est une puissance de 2 augmentée de 1, donc c’est un
nombre impair.

On en déduit que PGCD de (Fm,Fn)=1 pour tout couple d’entiers naturels % (n,m) avec m<n

Conclusion : 2 nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.

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