Résoudre un problème d’optimisation d’aire

Résoudre un problème d’optimisation d’aire avec GeoGebra, c’est ce que propose Gérard, notre E-prof de mathématiques en ligne avec cet exercice de l’enclos spécial lycée.

Ce cours de soutien scolaire mathématiques est destiné aux élèves de lycée (Seconde et 1ere). En prérequis, connaître les bases de l’utilisation du logiciel Géogébra.

Énoncé de ce problème d’optimisation d’aire

Pour ses lapins, Mr Dupont souhaite réaliser un enclos rectangulaire, le long de son mur.
Il dispose de 20 m de grillage. Il veut utiliser les 20 m de grillage et donner le maximum d’espace à ses lapins.
Afin d’obtenir un enclos plus grand, Mr Dupont décide d’utiliser le mur du jardin qui formera un côté, le grillage formant les trois autres côtés. Mr Dupont place un premier poteau A contre le mur.
Le dessin ci-dessous schématise la situation.

On note x la profondeur de l’enclos.

Ta mission : Déterminer à quelle distance x placer le poteau B afin que la surface de l’enclos soit maximale.

Solution géométrique avec GeoGebra

Tracé du rectangle ABCD tel que AB+BC+CD=20.

Tu ouvres GéoGébra, tu vois apparaitre deux premières droites graduées, les axes d’un repère orthonormé.
Si ce n’est pas le cas, affiche les grâce au menu « Affichage/axes ». Affiche aussi la grille.

Tu règles les axes à : Abscisse mini-5 ; maxi 20 et ordonnées mini -10; maxi 5.

D’abord, tu places un point A qui ne bougera pas. Tu choisis de placer ce point A à l’origine de ces axes.
Pour cela, tu saisis dans la barre de formule, sous la surface de dessin, l’expression suivante :
A=(0,0)
Tu places un point B sur la verticale qui passe par A, et que tu pourras faire bouger, mais seulement sur cette verticale.
Donc pour créer le point B, tu saisis: B=(0,m), m correspondant à la longueur x
(on ne peut pas la nommer x, car c’est une fonction réservée de GéoGébra).
Géogéebra crée alors un curseur » m » qui te permet de faire bouger le point B.

Dans les propriétés du curseur tu indiques: mini :-10; maxi : 0; incrément 0.1

Tu places ensuite les autres points pour qu’ils respectent les longueurs et dispositions imposées par l’énoncé.
Pour cela, tu  exprimes les coordonnées de C et D en fonction de m (et non pas de x) :
C=(20+2*m,m)  et D=(20+2*m,0) ( le « + » vient du fait que l’ordonnée du point B est négative)

Dans la barre de formule tu tapes : P=a+b+c pour avoir la longueur de grillage utilisé, longueur qui doit rester constante et égale à 20.

Tu affiches l’aire du rectangle ABCD qui varie lorsqu’on déplace le point B.

Tu enlèves l’affichage des axes.

Tu peux alors conjecturer la réponse au problème posé

Voici ce que tu obtiens

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Télécharge le fichier Géogébra1

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Solution analytique avec GeoGebra

1) Exprimer la longueur BC en fonction de x.

2) Montrer que la fonction A exprimant l’aire de l’enclos en fonction de x est :  A(x) = -2x²+20x .

3) A l’aide du logiciel, tu traces la représentation graphique de la fonction A.

1. a) Dans Affichage, cocher Axes.

Abscisses : mini -1 ; maxi 10 – Ordonnées : mini -10 ; maxi 60

 B Dans le champ de saisie, saisir l’expression de la fonction
c) Tu Places un point mobile sur la courbe et tu affiches ses coordonnées.

    Clic droit sur le point, Propriétés, dans Afficher l’étiquette, choisir Valeur.

4) a) Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle la surface de l’enclos est maximale.

1. b) En déduire les dimensions de l’enclos de Mathilde dans ce cas.

Voici ce que tu obtiens

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Télécharge le fichier Géogébra2

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Retrouver le résultat en utilisant la forme canonique de A(x)